Un chaos qui plait à l’œil de manière splendide !
Une situation chaotique désigne une situation confuse, désordonnée, anarchique. Lorsqu’elle est caractérisée par une image, généralement, elle ne plait pas à la vue. Il suffit, à titre illustratif, de se rappeler quelques événements passés politiques, sociales, sportives, … qui ont été chaotiques.
Cependant ce terme courant de chaos, en mathématique a une autre signification. Il désigne toute une branche de mathématiques, une théorie, une discipline scientifique, très jeune d’ailleurs, dont l’essor est lié aux progrès de l’informatique dans les années 1960-1970. En effet pour parvenir à son objet, il est absolument nécessaire de procéder à un nombre important des calculs répétitifs hors de la portée d’un être humain seul. Autrement dit c’est une théorie mathématique qui ne pouvait être explorée comme il se doit avant l’arrivée de l’ordinateur en raison des limites de la puissance de calcul de l’esprit humain.
Elle concerne essentiellement les comportements des systèmes dynamiques non linéaires pouvant être modélisés par un système d’équations différentielles non linéaires tout comme par des équations de récurrence non linéaires. Ces expressions mathématiques présentent les caractéristiques dont quelques unes ci-après :
Une forte sensibilité aux conditions initiales
Sur le plan graphique, elles sont représentées par des objets géométriques dits « attracteurs étranges » qui ont une nature fractale. Ce qui signifie des formes géométriques de structure complexe, détaillée et irrégulière qui représentent assez bien l’instabilité de comportement d’un système chaotique.
La caractéristique fondamentale des fractals est l’auto similitude (auto similarité, homothétie interne). Les fractales représentent un univers immense regroupé en plusieurs catégories parmi lesquelles il y a des fractales naturelles et notamment les fractales déterministes. Ces dernières sont les plus complexes, les plus spectaculaires et les plus impressionnantes. Leur processus de formation est beaucoup plus élaboré. On recourt aux mathématiques, précisément à l’itération de polynômes en nombre complexe. L’ordinateur est pour le moins indispensable à leurs créations. Elles sont de dimension non entière et sont vraiment « belles ». Vous aurez alors compris le pourquoi du titre de cet article. Les fractales ont une beauté indéniable et servent de modèles pour décrire des phénomènes chaotiques sur le plan mathématique. Ci-dessous nous vous proposons quelques images des fractales.